この証明の仕方であっているでしょうか？ （問題） 直円錐Pは、直円錐Qをk倍に拡大...

この証明の仕方であっているでしょうか？

（問題）

直円錐Pは、直円錐Qをk倍に拡大したものとする。すなわち、直円錐PとQは相似で、相似比はｋ：１である。Q.Pの表面積を、それぞれ

S,S'とし、Q,Pの体積を、それぞれV,V’とするとき、次のことが成り立つことを示せ。

（１）S'：Ｓ＝k²：１ （２）V’：V＝k³ ：１



（証明）

直円錐Pと直円錐Qの相似比はｋ：１であるから

直円錐Qの半径をｒ、高さをｈ、母線の長さをℓとすると

対応する直円錐Ｐの半径はｋｒ、高さはｋｈ、母線の長さは㎘である

ゆえに

（１） Ｓ＝πｒ²＋πℓｒ＝π（ｒ²＋ℓｒ）

S'＝πk²ｒ²＋π＊㎘＊ｋｒ²

＝πｋ²ｒ²＋πｋ² ℓｒ

＝ｋ²＊｛π（r²＋ℓｒ）｝

よって、S'：Ｓ＝k²：１



（２） Ｖ＝πｒ²＊ｈ＊１/3＝1/3πｒ²ｈ

V'＝πｋ²ｒ²＊ｋｈ＊1/3＝ｋ³＊1/3πｒ²ｈ

よって、Ｖ’：V＝k³ ：１ (終）



自分で気になるところは、円錐の側面積の式です。

側面積を早く出す方法として（母線＊半径＊π）と、裏わざとして覚えていたのですが、これって公式ですか？



よろしくお願いいたします。

高校数学Ⅰの図形と計量の単元での問題です。

直円錐Qの半径をr、高さをh、母線の長さをtとおくと

直円錐Pと直円錐Qの相似比はk:1なので

直円錐Pの半径はkr、高さはkh、母線の長さはktと書ける。



(1)S=πr^2+1/2･2πr･t

=πr^2+πrt

=π(r^2+rt)



S'=π(kr)^2+1/2･2πkr･kt

=πk^2r^2+πk^2rt

=πk^2(r^2+rt)

=k^2S



よってS':S=k^2:1





(2)V=1/3πr^2h

V'=1/3π(kr)^2kh

=1/3πk^3r^2h

=k^3V



よってV':V=k^3:1





円錐の側面積について

側面積は扇形で、

扇形の面積=1/2×扇形の半径×弧の長さ

で求まります。



扇形の半径=円錐の母線

弧の長さ=円錐の底面の円周



だから

扇形の面積=1/2×t×2πr

=πrt



結果的に母線×半径×πですね。

公式です。



直円錐の



(表面積)=πx(底面の半径r)x((底面の半径r)+母船の長さl)



=πxrx(r+l)